РАЗДЕЛ 4. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ ПОСТОЯННОГО И ПЕРЕМЕННОГО ТОКА.
ТЕМА 4.1 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
ЛЕКЦИЯ 28. НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ТОКИ. РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА.
Всякая периодически изменяющаяся величина y(wt) (ток, напряжение, мощность, ЭДС) с периодом 2p может быть разложена в ряд Фурье следующим образом:
y(wt) = A0 + A1sin(wt + Y1) + A2sin(2wt + Y2) +…+ Aksin(kwt + Yk) (1),
где: A0 – постоянная составляющая, независящая от времени;
A1, A2,…, Ak – амплитуды гармонических составляющих;
A1sin(wt + Y1) – основная гармоника, частота которой совпадает с частотой основного
сигнала;
A2sin(2wt + Y2),…, Aksin(kwt + Yk) – высшие гармоники, частоты которых кратны частоте основного сигнала;
Y1,…, Yk – начальные фазы соответствующих гармоник.
Преобразуем формулу (1), используя выражение:
Aksin(kwt + Yk) = AksinkwtcosYk + AksinYk coskwt,
где AkcosYk = Bk, AksinYk = Сk – постоянные величины
Ak = ÖВk2 + Сk2. Т.е. в отличие от Вk и Сk, которые могут быть как положительными, так и отрицательными, Ak всегда положительно. tgYk = Ck /Bk
Получим:
y(wt) = A0 + В1sinwt + В2sin2wt +…+ Bksinkwt + C1coswt + C2cos2wt +…+ Ckcoskwt (2)
Графическое определение коэффициентов ряда Фурье. Виды симметрии.
Для графического изображения величины, разложенной в ряд Фурье необходимо сначала вычислить коэффициенты ряда по формулам: A0 = Sy/m, где m = 2p/Dwt. Bk = 2S(ysinkwt)/m, Ck = 2S(ycoskwt)/m
После вычисления коэффициентов ряда Фурье, можно графически изображать величину, разложенную в ряд Фурье: по оси Ох откладываем отрезки Dwt, а по оси Оy – величины y0, y1,…,yk.
1. симметрия относительно оси Ох: если отрицательная полуволна сдвинута относительно положительной на половину периода и является ее зеркальным отражением, то такая кривая симметрична относительно оси абсцисс; она содержит только нечетные гармоники.
y(wt) = - y(-wt + p)
y(wt) = A1sin(wt + Y1) + A3sin(3wt + Y3) +…+ A2k-1sin([2k- 1]wt + Y2k-1)
2. симметрия относительно оси Оy: кривая, у которой при изменении знака аргумента величина и знак функции не меняются, симметрична относительно оси ординат. Такая функция не содержит синусоидальных гармонических составляющих.
y(wt) = y(-wt)
y(wt) = A0 + C1coswt + C2cos2wt +…+ Ckcoskwt
3. симметрия относительно начала координат: если любым двум абсциссам, имеющим одинаковые значения, но разные знаки, соответствуют ординаты, равные по величине и обратные по знаку, то такая кривая симметрична относительно начала координат. Она не содержит постоянной составляющей и косинусоидальных составляющих.
y(wt) = -y(-wt); y(wt) = В1sinwt + В2sin2wt +…+ Bksinkwt
Среднее за период значение несинусоидального тока: используя формулу (1), ток можно разложить в ряд Фурье следующим образом:
i(wt) = I0 + I1sin(wt + Y1) + I2sin(2wt + Y2) +…+ Iksin(kwt + Yk)
Тогда среднее за период значение несинусоидального тока будет равно:
Iср = 1/T òidt = 1/Т[òI0dt + òI1sin(wt + Y1)dt + … + òIksin(kwt + Yk)dt] = I0
Действующее значение несинусоидального тока: оно численно равно такому постоянному току, при котором на резистивном элементе выделяется столько же тепла, сколько и при несинусоидальном токе за один и тот же промежуток времени (за период).
i(wt) = I0 + I1sin(wt + Y1) + I2sin(2wt + Y2) +…+ Iksin(kwt + Yk)
Q1 = I2RT – количество теплоты, выделяющееся на резисторе, при прохождении по нему постоянного тока за период;
Q0 = I02RT – количество теплоты, выделенное на резисторе постоянной составляющей тока;
Qk = òIksin(kwt + Yk)dt = Ikm2RTk – количество теплоты, выделенное на резисторе k-той гармоникой за период
Исходя из записанного выше определения действующего значения несинусоидального тока, получаем:
I2RT = I02RT + I12RT + …+ Ik2RT Þ I = Ö I02 + I12 +…+ Ik2 – действующее значение несинусоидального тока.
Несинусоидальные кривые характеризуются:
1. Коэффициентом формы: kф = I/Iср
2. Коэффициентом амплитуды: kа = Imaх/I
3. Степень несинусоидальности кривых оценивается коэффициентом искажения отношения действующего значения основной гармоники к действующему значению всего сигнала:
kи = I1/Ö I02 + I12 +…+ Ik2
4. Коэффициентом нелинейных искажений (коэффициент гармоник), который показывает удельный вес высших гармоник относительно основной:
kГ = Ö I22 +…+ Ik2/ I1
Расчет электрических цепей несинусоидального тока производится по принципу наложения, т.к. несинусоидальную ЭДС можно представить как ряд последовательно соединенных источников, один из которых вырабатывает постоянную ЭДС, а остальные – синусоидальные ЭДС с частотами, кратными основной, т.е. e = e0 + e1 + e2 + …+en.Ток в такой цепи будет равен: i = I0 + i1 + i2 +…+ in
Общее сопротивление цепи можно вычислить по формуле: Z = ÖR2 + (kwL – 1/kwC)2
Активная мощность цепи: р = Р0 + р1 + …+ рn, где Р0 = U0I0, а рn = UnIncosYn
Пример решения задачи:
Электрическая цепь из последовательно соединенных активного сопротивления в 20 Ом, индуктивности в 0,1 Гн и емкости в 11,25 мкФ питается от источника с напряжением u =310sin(w1t – 150) + 77,5sin3w1t + 40sin(5w1t + 18045'). Необходимо определить значение тока в цепи, вычислить действующие значения тока и напряжения, а также активную мощность цепи, если частота первой гармоники 50 Гц.
Решение: 1. По коэффициенту, стоящему перед w1t, определяем, какие заданы гармоники: первая, третья и пятая.
2. Частота первой гармоники равна n1 = 50 Гц Þ частоты третьей и пятой гармоник соответственно будут равны: n3 = 3n1 = 150 Гц, n5 = 5n1 = 250 Гц.
3. Определяем индуктивное и емкостное сопротивление каждой гармоники:
ХL1 = w1L = 2pn1L = 31,4 (Ом) ХС1 = 1/w1С = 1/2pn1С = 282,6 (Ом)
ХL3 = w3L = 2pn3L = 94,2 (Ом) ХС3 = 1/w3С = 1/2pn3С = 94,2 (Ом)
ХL5 = w5L = 2pn5L = 157 (Ом) ХС5 = 1/w5С = 1/2pn5С = 56,5 (Ом)
4. Полные сопротивления каждой гармоники:
Z1 = ÖR2 + (ХL1 - ХС1)2 = Ö202 + (31,4 – 282,6)2 = 252 (Ом)
Z3 = ÖR2 + (ХL3 - ХС3)2 = Ö202 + (94,2 – 94,2)2 = 20 (Ом)
Z5 = ÖR2 + (ХL5 - ХС5)2 = Ö202 + (157 – 56,5)2 = 102,5 (Ом)
5. Определение гармоник тока:
· для первой гармоники максимальное значение тока: Im1 = Um1/Z1 = 1,23 (А)
Фазовый сдвиг между напряжением и током первой гармоники определяется по уравнению: tgj1 = (ХL1 – ХC1)/R = -12,56 Þ j1 =
Т.к. на частоте первой гармоники в цепи преобладает емкостное сопротивление (ХL1 < ХC1), ток опережает напряжение на угол j1, поэтому i1 = Im1sin(w1t – 150 + j1) = 1,23 sin(w1t – 150 +
(
· для третьей гармоники максимальное значение тока: Im3 = Um3/Z3 = 3,88 (А)
Фазовый сдвиг между напряжением и током третьей гармоники определяется по уравнению: tgj3 = (ХL3 – ХC3)/R = 0 Þ j3 = 0.
Т.к. на частоте третьей гармоники в цепи устанавливается резонанс напряжений (ХL1 = ХC1), поэтому i3 = Im3sin3w1t = 3,88 sin3w1t
· для пятой гармоники максимальное значение тока: Im5 = Um5/Z5 = 0,39 (А)
Фазовый сдвиг между напряжением и током пятой гармоники определяется по уравнению: tgj5 = (ХL5 – ХC5)/R = 5,02 Þ j5 =
Т.к. на частоте пятой гармоники в цепи преобладает индуктивное сопротивление (ХL1 > ХC1), то ток будет отставать от напряжения на угол j5, поэтому i5 = Im5 sin(5w1t + 18045' - j5 ) = 0,39 sin(5w1t + 18045' -
6. Мгновенное значение тока в цепи будет вычисляться по формуле:
i = i1 + i3 + i5 = 1,23 sin(w1t –
7. Вычисление действующих значений тока и напряжения:
I = Ö Im12 + Im32 + Im52/2 = 2,9 (А)
U = Ö Um12 + Um32 + Um52/2 = 228 (В)
8. Вычисление активной мощности:
Р = Р1 + Р3 + Р5 = Um1Im1cosj1/2 + Um3Im3cosj3/2 + Um5Im5cosj5/2 = 167,5 (Вт)
обновите картинки пожалуйста
ОтветитьУдалить