ЦЕПЬ С ЕМКОСТНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ. ЦЕПЬ, СОДЕРЖАЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО СОЕДИНЕННЫЕ АКТИВНОЕ СОП

ЛЕКЦИЯ 17. ЦЕПЬ С ЕМКОСТНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ.

ЦЕПЬ, СОДЕРЖАЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО СОЕДИНЕННЫЕ АКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ И КАТУШКУ ИНДУКТИВНОСТИ

Рассмотрим электрическую цепь, содержащую емкостное сопротивление (Х_С). Переменное напряжение на конденсаторе изменяется по закону: u_С = U_msinwt. Необходимо определить закон изменения тока и мощности в цепи.

Силу тока в цепи с конденсатором можно определить по формуле:

i = dq/dt = Cdu/dt = Cd(U_msinwt)/dt = CU_md(sinwt)/dt = wCU_mcoswt, где

wCU_m = I_m. Тогда i = I_mcoswt = I_msin (wt + p/2)

Величина Х_С = 1/wC называется реактивным емкостным сопротивлением. Оно отражает противодействие заряженного конденсатора току в цепи. [ Х_С ] = [1 Ом ].

Закон Ома для С-цепи будет иметь вид: U = I×Х_С

Таким образом, для C-цепи мы получили: i = I_msin (wt + p/2), u_С = U_msinwt. Из этих двух формул следует, что начальная фаза по току равна +p/2, а начальная фаза по напряжению равна нулю, т.е. ток в цепи с конденсатором опережает напряжение на угол p/2.

Иначе говоря, в С-цепи напряжение на конденсаторе отстает от тока на угол p/2, т.е. для С-цепи справедливо записать: i = I_msinwt, u = U_msin(wt - p/2). В дальнейшем мы будем пользоваться последними двумя формулами.

I Векторная диаграмма С-цепи: сначала в масштабе по горизонтали откладываем вектор тока. Т.к. напряжение на конденсаторе отстает от тока на угол 90⁰, то вектор U_С будем откладывать вниз перпендикулярно току.

U_С

Мощность: p = ui = I_msinwt×U_mcoswt = I_mU_msin2wt/2 = UIsin2wt

Средняя мощность за период: p_ср = 1/Т òрdt = 1/T òUIsin2wtdt = 0, т.е активная мощность в цепи с конденсатором равна нулю.

Конденсатор обладает только реактивной емкостной мощностью: Q_С = UI = wСU² [Q_С] = [1 вар ] = [1 ВАр ] = [1 Вольт-Ампер-реактивный ].

Пример решения задачи:

С = 32мкФ = 32×10^-6 Ф

u = 282sin(400t + 90⁰) В,

i(t)-? I-? U-? Q_c-?

Из закона изменения напряжения, заданного по условию задачи, следует: U_m = 282 В;

w = 400 рад/с, j = 90⁰.

U = U_m/Ö2 = 201,4 В I = U/Х_С = UwС = 2,6 А I_m = IÖ2 = 1,86 А

i = 1,86sin(wt + 90⁰) = 1,86sin(4000t + 90⁰ + 90⁰) = 1,86sin(4000t + 180⁰) (А) – т.к. ток на конденсаторе опережает напряжение на 90⁰

Q_С = UI = 201,4×2,6 = 524 (вар)

Рассмотрим электрическую цепь, содержащую последовательно соединенные активное сопротивление и катушку индуктивности. Закон изменения тока в данной цепи имеет вид: i = I_msinwt. Необходимо вывести формулы законов изменения напряжения и мощности в данной цепи.

Т.к. цепь имеет последовательное соединение элементов, то общее напряжение на выводах цепи будет равно: u = u_R + u_L. Подставим в эту формулу законы изменения напряжений на активном сопротивлении и катушке индуктивности:

u = u_R + u_L = U_msinwt + U_msin(wt + p/2) = U_msin(wt + j)

Значения амплитудных напряжений на активном сопротивлении и катушке индуктивности можно вычислить по формулам: U_mR = I_m×R

U_mL = I_m×Х_L = I_mwL

U_L

Х_L Q_L

U Z S

U_R

I R P

рис. а рис. б рис. в

Векторная диаграмма RL-цепи (рис. а): строится с учетом законов изменения тока и напряжений на активном сопротивлении и катушке индуктивности. Сначала в масштабе по горизонтали откладываем вектор тока. Т.к. напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током в цепи, то напряжение на активном сопротивлении откладываем параллельно току. Затем от конца вектора U_R вверх (т.к. напряжение на катушке опережает ток на 90⁰) откладываем вектор U_L и по диагонали получаем вектор полного напряжения цепи U.

Из векторной диаграммы следует:

U = ÖU²_R + U²_L = Ö(IR)² + (IХ_L)² = IÖR² + Х²_L = IZ, где Z = ÖR² + Х²_L (1) – полное сопротивление RL-цепи [Z] = [1 Ом ]

Формула (1) справедлива в том случае, если мы рассматриваем идеальную катушку индуктивности.

Если же рассматривать реальную катушку индуктивности, обладающую активным сопротивлением (R_К), то общее сопротивление реальной катушки будет равно:

Z_К = ÖR²_K + Х²_L, а общее сопротивление цепи из последовательно соединенных резистора и реальной катушки будет равно: Z = ÖZ²_K + R²

Закон Ома для RL-цепи примет вид: I = U/Z = U/ÖR² + Х²_L

Треугольник сопротивлений RL-цепи (рис. б): по горизонтали в масштабе откладываем вектор активного сопротивления. Т.к. в векторной диаграмме вверх мы откладывали вектор U_L, то в треугольнике сопротивлений вверх будем откладывать вектор Х_L. Тогда на диагонали при соединении начала вектора R с концом вектора Х_L мы получим полное сопротивление RL-цепи.

Из треугольника сопротивлений и векторной диаграммы следует:

cos j = R/Z = U_R/U sin j = Х_L/Z = U_L/U tgj = Х_L/R = U_L/U_R

Для вывода закона изменения мощности в RL-цепи воспользуемся формулой:

sina×sinb = 1/2 [cos (a-b) – cos (a+b)]

p = ui = I_msinwt×U_msin(wt + j) = U_mI_m/2 [cos j – cos(2wt + j)] = UIcos j -

- UI cos(2wt + j)

P = UIcos j - активная мощность цепи [ Р ] = [ 1 Вт ]

Q_L = UIsin j - реактивная мощность цепи [ Q_L ] = [ 1 вар ]

S = UI – полная мощность цепи [ S ] = [ 1 В×А ]

Треугольник мощностей RL-цепи (рис. в): по горизонтали в масштабе откладываем вектор активной мощности (Р). Т.к. в векторной диаграмме вверх мы откладывали напряжение на катушке индуктивности, то при построении треугольника мощностей вверх мы будем откладывать вектор Q_L, тогда по диагонали при соединении начала вектора Р с концом вектора Q_L получим вектор полной мощности (S).

Коэффициент мощности: cos j = Р/S

Пример решения задачи:

R_к = 70 Ом; R = 20 Ом; U = 40 B;

¦ = 50 Гц; L = 0,382 Гн

Z-? I-? P-? S-? Q_L-? U_R-? U_L-?

Построить векторную диаграмму цепи

Решение: 1. т.к. цепь имеет последовательное соединение нескольких элементов, то для нахождения силы тока в цепи сначала необходимо определить полное сопротивление: Z = Ö(R_K + R)² + Х²_L = 200 (Ом)

2. Определяем силу тока в цепи: I = U/Z = 0,2 (А)

3. Определяем падение напряжения на каждом элементе: U_R = IR = 4 (B)

U_R = IR_K = 14 (B)

U_L = IХ_L = IwL = 24 (B)

4. P = UIcos j = UI(R_K + R)/Z = 3,6 (Bт)

Q_L = UIsin j = UIwL/Z = 5,76 (вар) U_K U_L

S = UI = 8 (В×А)