ЦЕПЬ С АКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ. ЦЕПЬ С ИНДУКТИВНОСТЬЮ.

ЛЕКЦИЯ 16. ЦЕПЬ С АКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ.

ЦЕПЬ С ИНДУКТИВНОСТЬЮ.

Рассмотрим электрическую цепь, содержащую активное сопротивление (R), к которой приложено переменное напряжение, изменяющееся по закону:

u = U_msinwt.

Необходимо определить законы изменения тока и мощности в цепи.

Согласно закону Ома для участка цепи: i = u/R = U_msinwt/R = I_m sinwt, где U_m/R = I_m.

Таким образом, мы получили: u = U_msinwt, i = I_m sinwt. Из этих двух выражений следует, что начальная фаза для тока и напряжения в цепях переменного тока, содержащих активное сопротивление, равна нулю, т.е. напряжение и ток совпадают по фазе.

U_R

I

Построим векторную диаграмму для R-цепи: сначала горизонтально в масштабе откладываем вектор тока, затем параллельно ему (т.к. ток и напряжение на резисторе совпадают по фазе) откладываем вектор U_R.

Теперь выведем закон изменения мгновенного значения мощности в R-цепи:

p = ui = U_msinwt× I_msinwt = U_mI_msin²wt = U_mI_m/2 - U_mI_mcos2wt/2 = UI - UIcos2wt, учитывая, что sin²wt = 1/2 - cos2wt/2.

Средняя за период мощность: р_ср = 1/Т òрdt = 1/T òUIdt – 1/T òUIcos2wtdt = UI, т.к. косинус – функция четная, то при вычислении интеграла от косинуса по периоду он будет равен нулю.

Таким образом, в R-цепи активная мощность равна: Р = UI [P] = [1Вт]

Пример решения задачи:

R =50 Ом

u = 310,2sin(314t – 30⁰) В

U-? I-? i(t)-? P-?

Решение: из закона изменения напряжения, заданного по условию задачи: U_m = 310,2 В;

w = 314 рад/с, j = -30⁰.

U = U_m/Ö2 = 220 В I = U/R = 4,4 А I_m = IÖ2 = 6,2 А

i = 6,2sin (314 – 30⁰), т.к. напряжение и ток в цепях с активным сопротивлением совпадают по фазе.

P = UI = 220×4,4 = 968 Вт

Рассмотрим электрическую цепь переменного тока, содержащую идеальную катушку индуктивности, т.е. катушку индуктивности, не обладающую активным сопротивлением. Закон изменения тока в данной цепи имеет вид: i = I_msinwt. Необходимо вывести формулы законов изменения напряжения и мощности в данной цепи.

Т.к. по цепи протекает переменный ток, то в катушке будет наводиться ЭДС индукции

e_L = -u, e_L = - Ldi/dt, т.е. u = Ldi/dt. Подставим в последнюю формулу закон изменения тока:

u = Ldi/dt = Ld(I_msinwt)/dt = LI_md(sinwt)/dt = wLI_mcoswt, где wLI_m = U_m, т.е.

u = U_mcoswt = U_msin(wt + p/2)

Величина wL = Х_L называется реактивным сопротивлением катушки индуктивности или индуктивным сопротивлением. [Х_L] = [1 Ом].

Закон Ома для L-цепи будет иметь вид: U = I×Х_L

Таким образом, для L-цепи мы получили: i = I_msinwt, u = U_msin(wt + p/2). Из этих двух формул следует, что начальная фаза по току равна нулю, начальная фаза по напряжению равна +p/2, т.е. напряжение на катушке индуктивности опережает ток на угол +p/2.

U_L Векторная диаграмма L-цепи: сначала в масштабе по горизонтали откладываем вектор тока. Т.к. напряжение на катушке индуктивности опережает ток на угол +p/2, то вектор U_L необходимо отложить вверх перпендикулярно

e_L

Мощность: p = ui = I_msinwt×U_mcoswt = I_mU_msin2wt/2 = UIsin2wt

Средняя мощность за период: p_ср = 1/Т òрdt = 1/T òUIsin2wtdt = 0, т.е активная мощность в цепи с идеальной катушкой индуктивности равна нулю.

Идеальная катушка индуктивности обладает только реактивной индуктивной мощностью: Q_L = UI = wLI² = I²Х_L [Q_L] = [1 вар ] = [1 ВАр ] = [1 Вольт-Ампер-реактивный ].

Пример решения задачи:

L = 0,05 Гн

u = 2,82sin(4000t + 90⁰) В

i(t)-? U-? I-? e_L(t)-?

Е_L-? Q_L-?

Из закона изменения напряжения, заданного по условию задачи, следует: U_m = 2,82 В;

w = 4000 рад/с, j = 90⁰.

U = U_m/Ö2 = 2 В I = U/Х_L = U/wL = 0,01 А I_m = IÖ2 = 0,0141 А

i = 0,0141sinwt = 0,0141sin4000t (А) – т.к. ток отстает от напряжения на угол 90⁰

Е_L = U = 2В e_L = 2,82sin(4000t + 90⁰ - 180⁰) = 2,82sin(4000t - 90⁰), т.к. e_L = -u

Q_L = UI = 2×0,01 = 0,02 (вар)