ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ ЦЕПЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА. РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ.

ТЕМА 3.2 РЕЗОНАНС В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

ЛЕКЦИЯ 20. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ ЦЕПЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА. РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных активного сопротивления, катушки индуктивности и конденсатора.

Ток в такой цепи будет вычисляться по формуле: I = U/Z = U/ÖR² + (Х_L - Х_С)²

U_R = IR U_L = IХ_L U_C = IХ_C

Режим работы электрической цепи при последовательном соединении ее элементов, характеризуемый равенством индуктивного и емкостного сопротивлений называется резонансом напряжений.

Х_L = Х_С – условие резонанса напряжений. В этом случае напряжение на катушке индуктивности и конденсаторе становятся максимальными, они находятся в противофазе и, складываясь, уничтожают друг друга.

временная диаграмма векторная диаграмма

Две синусоидальные величины находятся в противофазе, когда сдвиг фаз между ними составляет величину p.

Выведем формулу резонансной циклической частоты, используя условие резонанса напряжений: Х_L = Х_С Þ w_рL = 1/w_рC Þ w_рL×w_рC = 1 Þ w_р² = 1/LC Þ

w_р = 1/ÖLC Þ n_p = 1/2pÖLC

Т.к. при резонансе напряжений U_mL = U_mC, то полное напряжение цепи будет равно U = U_R и ток в этом случае будет вычисляться по формуле:

I = U/Z = U/ÖR² + (Х_L - Х_С)² = U/R, т.е. при резонансе напряжений ток в цепи имеет максимальное значение и он равен: I_maх = U/R

При резонансе напряжений tg j = Х/R = (Х_L - Х_С)/R = 0 и j = 0

Величину r = ÖL/C называют характеристическим сопротивлением последовательно соединенного контура.

Отношение U_L/U = U_C/U = ÖL/RÖC = r/R = Q называют добротностью контура.

Добротность контура показывает, во сколько раз амплитуда напряжения на катушке или конденсаторе превышает амплитуду входного напряжения при резонансе.

Q₁> Q₂> Q₃

Чем выше добротность контура, тем резонансная кривая становится более острой.

Мощности при резонансе напряжений:

· активная: P = IU_R = U²_R/R = I²R;

· реактивная: Q = UIsinj = UI(Х_L - Х_С)/Z = 0;

· полная: S = UI

При резонансе напряжений cosj всегда равен 1, поэтому sinj = 0.

Энергия, которая в любой момент времени запасается в электрическом поле конденсатора: W_э = Сu²_C/2.

Энергия магнитного поля катушки: W_м = Li²/2

Амплитудные значения указанных выше энергий будут равны:

W_эmах = CU²_Cm/2, W_мmах = LI²_m/2.

Докажем, что при резонансе напряжений W_эmах = W_мmах.

W_эmах = CU²_Cm/2 = CI²_mХ²_C/2 = [Х_С = 1/w_рС] = CI²_m/2w_р ²С² = [w_р ² = 1/LC] = I²_mLC/2C = I²_mL/2

Суммарная энергия, запасаемая в контуре в любой момент времени: W = W_эmах + W_мmах

Зависимость Х_L, Х_С, Х, R, Z от w называется частотной характеристикой:

Х_L = wL – зависимость от w - прямо пропорциональная (график – прямая линия);

Х_С = 1/wC - зависимость от w - обратно пропорциональная (график – гипербола);

Х = Х_L - Х_С

R – от w не зависит (график – прямая линия, параллельная оси w);

Z = ÖR² + (Х_L - Х_С)²

.

Зависимость I, U_R, U_L, U_C от w называется резонансными кривыми. Максимумы напряжений на емкости и индуктивности смещены относительно максимума тока, т.к. напряжение на катушке индуктивности опережает ток на угол p/2, а напряжение на емкости отстает от тока на этот же угол.