ТЕМА 3.3 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.
ЛЕКЦИЯ 23. АППАРАТ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. КОМПЛЕКСНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ.
Комплексным числом называется сумма действительного числа L и мнимого
Ö-М2 = Ö(-1)×М2 = МÖ(-1): А = L + jМ, где j = Ö-1 – мнимая единица
Действительное число графически изображается отрезком на оси Ох – ось действительных величин. Комплексное (мнимое) число изображается отрезком на оси Оу – ось мнимых величин.
Причем j представляет собой поворотный множитель, при умножении на который вектор, изображающий действительное число, поворачивается на угол 900 против часовой стрелки, т.е. в положительную сторону.
Формы изображения комплексных чисел:
1. алгебраическая: любое комплексное число можно представить суммой действительной части А1 и мнимой части А2: А = А1 + j А2
Модуль (длина) вектора А: А = Ö А12 + А22
tgb = А2/ А1, где b - аргумент комплексного числа А
рис. 1
2. тригонометрическая: из рис. 1 следует, что А1 = Аcosb, А2 = Аsinb. Подставим полученные значения в алгебраическую форму записи комплексного числа А:
А = А1 + j А2 = Аcosb + j Аsinb = А(cosb + jsinb), где (cosb + jsinb) = еjb - формула Эйлера
3. показательная: исходя из тригонометричекой формы записи, получаем:
А = Аcosb + j Аsinb = А(cosb + jsinb) = Аеjb
Примеры: вычислить, используя формулу Эйлера:
еj0 = cos 00 + jsin 00 = 1 + j0 = 1
еj90 = cos 900 + jsin 900 = 0 + j1 = j
е-j90 = cos (-900) + jsin (-900) = cos 900 + jsin (-900) = 0 – j1 = -j
Действия с комплексными числами:
1. сложение: при сложении двух комплексных чисел отдельно складывают их действительные части и отдельно – мнимые: А = А1 + jА2 В = В1 + jВ2
С = А + В = (А1 + jА2) + (В1 + jВ2) = (А1 + В1) + j(А2 + В2) = С1 + jС2
2. вычитание: производится аналогично сложению: А = А1 + jА2 В = В1 + jВ2
С = А - В = (А1 + jА2) - (В1 + jВ2) = (А1 - В1) + j(А2 - В2) = С1 + jС2
Примеры: 1. сложить два комплексных числа: А = 4 + j6 и В = -3 + j2
С = А + В = (4 + j6) + (-3 + j2) = (4 - 3) + j(6 + 2) = 1 + j8
2. сложить два комплексных числа: А = 10еj45 и В = 6е-j30 и определить модуль полученного комплексного числа:
А = 10еj45 = 10(cos 450 + jsin 450) = 10(0,7 +j0,7) = 7 + j7
В = 6е-j30 = 6(cos 300 - jsin 300) = 6(0,85 – j0,5) = 5,2 – j3
С = А + В = (7 + j7) + (5,2 – j3) = (7 + 5,2) + j(7 - 3) = 12,2 + j4
С = Ö С12 + С22 = Ö 12,22 + 42 = 12,9
3. определить разность двух комплексных чисел: А = 80 + j90 и В = 50 – j30
С = А - В = (80 + j90) - (50 – j30) = (80 - 50) + j(90 + 30) = 30 + j120
3. умножение и деление: проще всего выполнять, используя запись комплексных чисел в показательной форме: А = Аеja В = Веjb, тогда С = А×В = Аеja× Веjb = АВеj(a + b) = Сеjg
а) если один из множителей – положительное действительное число, т.е. А = Аеja и b:
С = А× b = Аеja× b = Аbеja = Сеja
б) если один из множителей – поворотный множитель, т.е. В = Веjb и еja:
С = В×еja = Веjb× еja = Веj(a + b) = Сеjg
в) комплексные величины, имеющие одинаковые модули и равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку аргументы, называются сопряженными: пусть задано комплексное число А = Аеja, тогда сопряженное к нему будет А* = Ае-ja.
Если комплексное число задано в алгебраической форме А = А1 + jА2, тогда сопряженное к нему будет равно: А* = А1 + jА2
А× А* = Аеja×Ае-ja = А2
г) комплексы А и 1/А, произведение которых равно 1, называются обратными
А × 1/А = Аеja× е-ja/А = 1
д) если комплексные числа заданы в алгебраической форме А = А1 + jА2 и В = В1 + jВ2, то их произведение равно: С = А×В = (А1 + jА2)(В1 + jВ2) = А1В1 + jА2В1 + jА1В2 + j2А2В2 =
= А1В1 + jА2В1 + jА1В2 - А2В2
е) если комплексные числа заданы в алгебраической форме, то при делении сначала необходимо устранить мнимость в знаменателе, то есть числитель и знаменатель домножить на комплекс, сопряженный к знаменателю.
Примеры: 1. определить произведение двух комплексных чисел
А = 40еj10 и В = 5еj25
С = А×В = 40еj10× 5еj25 = 200еj(10+ 25) = 200еj35
2. определить произведение двух комплексных чисел: А = 70еj30 и В =0,5е-j10
С = А×В = 70еj30× 0,5е-j10 = 35еj(30 - 10) = 35еj20
3. определить произведение двух комплексных чисел: А = 2 + j4 и В = 8 + j6
С = А×В = (А1 + jА2)(В1 + jВ2) = (2 + j4)(8 + j6) = 16 + j32 + j12 + j224 = 16 + j44 – 24 =
= -8 + j44
4. определить частное от деления А = 2 + j4 на В = 0,8 + j0,4:
С = А/В = (2 + j4)/(0,8 + j0,4) = (2 + j4)(0,8 - j0,4)/(0,8 + j0,4)(0,8- j0,4) = 1,6 – j0,8 + j3,2 – j21,6/(0,82 + 0,42) = 4 + j3
Запишем действующее значение тока, изменяющегося по закону i =Imsin(wt + j) в комплексной форме: I = Iejj.
Аналогично для напряжения, изменяющегося по закону: u = Umsin(wt + b): U = Uejb.
Частное от деления напряжения на зажимах цепи в комплексной форме на ток, проходящей по ней, в комплексной форме, называется комплексным сопротивлением:
Z = U/I = Uejb/Iejj = zejg = zcosg + jzsing, где zcosg = R – активное сопротивление, zsing = Х – реактивное сопротивление, тогда Z = R + jХ
I = U/Z - закон Ома в комплексной форме
Законы Кирхгофа в комплексной форме
Первый закон: сумма комплексных токов, втекающих в узел, равна сумме комплексных токов, вытекающих из него (алгебраическая сумма комплексных токов, сходящихся в узле, равна нулю): åIi = 0
Второй закон: для всякого замкнутого контура алгебраическая сумма комплексных ЭДС равна алгебраической сумме комплексных падений напряжений: åek = åIiRi
Комплексная форма RL-цепи: ток и напряжение в RL-цепи изменяются по законам:
i =Imsinwt, u = Umsin(wt + j) или в комплексной форме: I = Iej0, U = Uejj.
Полное сопротивление цепи в комплексной форме: Z = U/I = Uejj/I = zejj = zcosj + jzsinj
Т.к. для цепи с индуктивностью Х = ХL, то Z = R + jХL.
Комплексное сопротивление (его вещественная и мнимая составляющие) может быть представлено на комплексной плоскости в виде треугольника сопротивлений (рис. 1)
Рис. 1 Рис. 2
+j +j
Z jХL U UL
+1
Модуль комплексного сопротивления RL –цепи будет вычисляться по формуле:
Z = ÖR2 + ХL2, а аргумент – через его синус, косинус или тангенс: cos j = R/Z; sin j = ХL/Z; tgj = ХL/R
U = IZ = IR + jIХL =
Комплексная форма RС-цепи: ток и напряжение в RL-цепи изменяются по законам:
i =Imsinwt, u = Umsin(wt - j) или в комплексной форме: I = Iej0, U = Ue-jj.
Полное сопротивление цепи в комплексной форме: Z = U/I = Ue-jj/I = ze-jj = zcosj - jzsinj
Т.к. для цепи с индуктивностью Х = ХС, то Z = R – jХС.
Комплексное сопротивление (его вещественная и мнимая составляющие) может быть представлено на комплексной плоскости в виде треугольника сопротивлений (рис. 3)
+j
+1 +j I
+1
Z -jХС
U UC
Рис. 3 Рис. 4
Модуль комплексного сопротивления RС –цепи будет вычисляться по формуле:
Z = ÖR2 + ХС2, а аргумент – через его синус, косинус или тангенс: cos j = R/Z; sin j = ХС/Z; tgj = ХС/R
U = IZ = IR – jIХС =
При расчетах разветвленных цепей часто применяют комплексные проводимости Y – величины, обратные сопротивлениям:
Y = 1/Z = 1/zejj = e-jj/z = уe-jj = уcosj - jуsinj = g – jb, где g = уcosj - активная проводимость; b = уsinj - реактивная проводимость.
Для RL-цепи: Y = 1/Z = 1/(R + jХL)×[(R – jХL)/(R – jХL)] = (R – jХL)/(R2 + ХL2) = = g - jbL
Активная и реактивная проводимости RL-цепи определяются соответственно по формулам:
g = R/Z2, bL = ХL/Z2, a Z2 = R2 + ХL2.
Модуль комплексной проводимости можно определить по формуле: y = Ög2 + bL2, а аргумент – через его синус, косинус или тангенс: cos j = g/y, sin j = bL/y, tg j = bL/g
Треугольник проводимостей для RL-цепи (рис. 5):
Рис. 5 Рис.6
+j +j
g +1
-jbL Y jbC
Y
g +1
Для RС-цепи: Y = 1/Z = 1/(R – jХС)×[(R + jХС)/(R + jХС)] = (R + jХС)/(R2 + ХС2) = g + jbС
Активная и реактивная проводимости RС-цепи определяются соответственно по формулам: g = R/Z2, bС = ХС/Z2, a Z2 = R2 + ХС2.
Модуль комплексной проводимости можно определить по формуле:
y = Ög2 + bС2, а аргумент – через его синус, косинус или тангенс: cos j = g/y,
sin j = bС/y, tg j = bС/g
Треугольник проводимостей для RС-цепи (рис. 6).
Для RLC-цепи можно записать: Z = R + jХL – jХC = R + jХ = zejj
Y = 1/(R + jХ) = (R – jХ)/(R2 + Х2) = g – jb, где активная и реактивная проводимости вычисляются по формулам: g = R/Z2, b = Х/Z2 = (ХL – ХC)/Z2, a Z2 = R2 + Х2
tg j = b/g = Х/R
Пусть I = iejY, U = Ueja = Uej(j+Y), тогда произведение комплекса напряжения и сопряженного комплекса тока I* = Ie-jY представляет собой мощность в комплексной форме: S = U×I* = Uej(j+ Y)×Ie-jY = UIejj = UIcosj + jUIsinj = P + jQ
Комментариев нет:
Отправить комментарий