НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ТОКИ. РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА.

РАЗДЕЛ 4. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ ПОСТОЯННОГО И ПЕРЕМЕННОГО ТОКА.

ТЕМА 4.1 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

ЛЕКЦИЯ 28. НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ТОКИ. РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА.

Всякая периодически изменяющаяся величина y(wt) (ток, напряжение, мощность, ЭДС) с периодом 2p может быть разложена в ряд Фурье следующим образом:

y(wt) = A₀ + A₁sin(wt + Y₁) + A₂sin(2wt + Y₂) +…+ A_ksin(kwt + Y_k) (1),

где: A₀ – постоянная составляющая, независящая от времени;

A₁, A₂,…, A_k – амплитуды гармонических составляющих;

A₁sin(wt + Y₁) – основная гармоника, частота которой совпадает с частотой основного

сигнала;

A₂sin(2wt + Y₂),…, A_ksin(kwt + Y_k) – высшие гармоники, частоты которых кратны частоте основного сигнала;

Y₁,…, Y_k – начальные фазы соответствующих гармоник.

Преобразуем формулу (1), используя выражение:

A_ksin(kwt + Y_k) = A_ksinkwtcosY_k + A_ksinY_k coskwt,

где A_kcosY_k = B_k, A_ksinY_k = С_k – постоянные величины

A_k = ÖВ_k² + С_k². Т.е. в отличие от В_k и С_k, которые могут быть как положительными, так и отрицательными, A_k всегда положительно. tgY_k = C_k /B_k

Получим:

y(wt) = A₀ + В₁sinwt + В₂sin2wt +…+ B_ksinkwt + C₁coswt + C₂cos2wt +…+ C_kcoskwt (2)

Графическое определение коэффициентов ряда Фурье. Виды симметрии.

Для графического изображения величины, разложенной в ряд Фурье необходимо сначала вычислить коэффициенты ряда по формулам: A₀ = Sy/m, где m = 2p/Dwt. B_k = 2S(ysinkwt)/m, C_k = 2S(ycoskwt)/m

После вычисления коэффициентов ряда Фурье, можно графически изображать величину, разложенную в ряд Фурье: по оси Ох откладываем отрезки Dwt, а по оси Оy – величины y₀, y₁,…,y_k.

1. симметрия относительно оси Ох: если отрицательная полуволна сдвинута относительно положительной на половину периода и является ее зеркальным отражением, то такая кривая симметрична относительно оси абсцисс; она содержит только нечетные гармоники.

y(wt) = - y(-wt + p)

y(wt) = A₁sin(wt + Y₁) + A₃sin(3wt + Y₃) +…+ A_2k-1sin([2k- 1]wt + Y_2k-1)

2. симметрия относительно оси Оy: кривая, у которой при изменении знака аргумента величина и знак функции не меняются, симметрична относительно оси ординат. Такая функция не содержит синусоидальных гармонических составляющих.

y(wt) = y(-wt)

y(wt) = A₀ + C₁coswt + C₂cos2wt +…+ C_kcoskwt

3. симметрия относительно начала координат: если любым двум абсциссам, имеющим одинаковые значения, но разные знаки, соответствуют ординаты, равные по величине и обратные по знаку, то такая кривая симметрична относительно начала координат. Она не содержит постоянной составляющей и косинусоидальных составляющих.

y(wt) = -y(-wt); y(wt) = В₁sinwt + В₂sin2wt +…+ B_ksinkwt

Среднее за период значение несинусоидального тока: используя формулу (1), ток можно разложить в ряд Фурье следующим образом:

i(wt) = I₀ + I₁sin(wt + Y₁) + I₂sin(2wt + Y₂) +…+ I_ksin(kwt + Y_k)

Тогда среднее за период значение несинусоидального тока будет равно:

I_ср = 1/T òidt = 1/Т[òI₀dt + òI₁sin(wt + Y₁)dt + … + òI_ksin(kwt + Y_k)dt] = I₀

Действующее значение несинусоидального тока: оно численно равно такому постоянному току, при котором на резистивном элементе выделяется столько же тепла, сколько и при несинусоидальном токе за один и тот же промежуток времени (за период).

i(wt) = I₀ + I₁sin(wt + Y₁) + I₂sin(2wt + Y₂) +…+ I_ksin(kwt + Y_k)

Q₁ = I²RT – количество теплоты, выделяющееся на резисторе, при прохождении по нему постоянного тока за период;

Q₀ = I₀²RT – количество теплоты, выделенное на резисторе постоянной составляющей тока;

Q_k = òI_ksin(kwt + Y_k)dt = I_km²RT_k – количество теплоты, выделенное на резисторе k-той гармоникой за период

Исходя из записанного выше определения действующего значения несинусоидального тока, получаем:

I²RT = I₀²RT + I₁²RT + …+ I_k²RT Þ I = Ö I₀² + I₁² +…+ I_k² – действующее значение несинусоидального тока.

Несинусоидальные кривые характеризуются:

1. Коэффициентом формы: k_ф = I/I_ср

2. Коэффициентом амплитуды: k_а = I_maх/I

3. Степень несинусоидальности кривых оценивается коэффициентом искажения отношения действующего значения основной гармоники к действующему значению всего сигнала:

k_и = I₁/Ö I₀² + I₁² +…+ I_k²

4. Коэффициентом нелинейных искажений (коэффициент гармоник), который показывает удельный вес высших гармоник относительно основной:

k_Г = Ö I₂² +…+ I_k²/ I₁

Расчет электрических цепей несинусоидального тока производится по принципу наложения, т.к. несинусоидальную ЭДС можно представить как ряд последовательно соединенных источников, один из которых вырабатывает постоянную ЭДС, а остальные – синусоидальные ЭДС с частотами, кратными основной, т.е. e = e₀ + e₁ + e₂ + …+e_n.Ток в такой цепи будет равен: i = I₀ + i₁ + i₂ +…+ i_n

Общее сопротивление цепи можно вычислить по формуле: Z = ÖR² + (kwL – 1/kwC)²

Активная мощность цепи: р = Р₀ + р₁ + …+ р_n, где Р₀ = U₀I₀, а р_n = U_nI_ncosY_n

Пример решения задачи:

Электрическая цепь из последовательно соединенных активного сопротивления в 20 Ом, индуктивности в 0,1 Гн и емкости в 11,25 мкФ питается от источника с напряжением u =310sin(w₁t – 15⁰) + 77,5sin3w₁t + 40sin(5w₁t + 18⁰45^'). Необходимо определить значение тока в цепи, вычислить действующие значения тока и напряжения, а также активную мощность цепи, если частота первой гармоники 50 Гц.

Решение: 1. По коэффициенту, стоящему перед w₁t, определяем, какие заданы гармоники: первая, третья и пятая.

2. Частота первой гармоники равна n₁ = 50 Гц Þ частоты третьей и пятой гармоник соответственно будут равны: n₃ = 3n₁ = 150 Гц, n₅ = 5n₁ = 250 Гц.

3. Определяем индуктивное и емкостное сопротивление каждой гармоники:

Х_L1 = w₁L = 2pn₁L = 31,4 (Ом) Х_С1 = 1/w₁С = 1/2pn₁С = 282,6 (Ом)

Х_L3 = w₃L = 2pn₃L = 94,2 (Ом) Х_С3 = 1/w₃С = 1/2pn₃С = 94,2 (Ом)

Х_L5 = w₅L = 2pn₅L = 157 (Ом) Х_С5 = 1/w₅С = 1/2pn₅С = 56,5 (Ом)

4. Полные сопротивления каждой гармоники:

Z₁ = ÖR² + (Х_L1 - Х_С1)² = Ö20² + (31,4 – 282,6)² = 252 (Ом)

Z₃ = ÖR² + (Х_L3 - Х_С3)² = Ö20² + (94,2 – 94,2)² = 20 (Ом)

Z₅ = ÖR² + (Х_L5 - Х_С5)² = Ö20² + (157 – 56,5)² = 102,5 (Ом)

5. Определение гармоник тока:

· для первой гармоники максимальное значение тока: I_m1 = U_m1/Z₁ = 1,23 (А)

Фазовый сдвиг между напряжением и током первой гармоники определяется по уравнению: tgj₁ = (Х_L1 – Х_C1)/R = -12,56 Þ j₁ = -85⁰20’

Т.к. на частоте первой гармоники в цепи преобладает емкостное сопротивление (Х_L1 < Х_C1), ток опережает напряжение на угол j₁, поэтому i₁ = I_m1sin(w₁t – 15⁰ + j₁) = 1,23 sin(w₁t – 15⁰ +

(-85⁰20’)) = 1,23 sin(w₁t – 100⁰20’)

· для третьей гармоники максимальное значение тока: I_m3 = U_m3/Z₃ = 3,88 (А)

Фазовый сдвиг между напряжением и током третьей гармоники определяется по уравнению: tgj₃ = (Х_L3 – Х_C3)/R = 0 Þ j₃ = 0.

Т.к. на частоте третьей гармоники в цепи устанавливается резонанс напряжений (Х_L1 = Х_C1), поэтому i₃ = I_m3sin3w₁t = 3,88 sin3w₁t

· для пятой гармоники максимальное значение тока: I_m5 = U_m5/Z₅ = 0,39 (А)

Фазовый сдвиг между напряжением и током пятой гармоники определяется по уравнению: tgj₅ = (Х_L5 – Х_C5)/R = 5,02 Þ j₅ = 78⁰45’

Т.к. на частоте пятой гармоники в цепи преобладает индуктивное сопротивление (Х_L1 > Х_C1), то ток будет отставать от напряжения на угол j₅, поэтому i₅ = I_m5 sin(5w₁t + 18⁰45^' - j₅ ) = 0,39 sin(5w₁t + 18⁰45^' - 78⁰45’) = 0,39 sin(5w₁t - 60⁰45’)

6. Мгновенное значение тока в цепи будет вычисляться по формуле:

i = i₁ + i₃ + i₅ = 1,23 sin(w₁t – 100⁰20’) + 3,88 sin3w₁t + 0,39 sin(5w₁t - 60⁰45’)

7. Вычисление действующих значений тока и напряжения:

I = Ö I_m1² + I_m3² + I_m5²/2 = 2,9 (А)

U = Ö U_m1² + U_m3² + U_m5²/2 = 228 (В)

8. Вычисление активной мощности:

Р = Р₁ + Р₃ + Р₅ = U_m1I_m1cosj₁/2 + U_m3I_m3cosj₃/2 + U_m5I_m5cosj₅/2 = 167,5 (Вт)