ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RC-ЦЕПИ

ЛЕКЦИЯ 31. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RC-ЦЕПИ.

Подключение RС-цепи к источнику постоянного напряжения:

В начальный момент времени ток в цепи равен i = 0. Напряжение конденсатора изменяется от u_C = 0 до некоторого u_C = u_У = U. По второму закону коммутации u = u_у + u_св. Ток в цепи с конденсатором можно вычислить по формуле: i = Cdu_C/dt. Подставим в нее значение напряжения, исходя из второго закона коммутации:i = Cdu_C/dt = Сd(u_у + u_св)/dt = Сdu_у/dt + Сdu_св/dt (1).

Так как рассматриваемая цепь имеет последовательное соединение, то U = U_R + U_C, где U_R = iR, тогда U = U_R + U_C = iR + u_у + u_св = R(Сdu_у/dt + Сdu_св/dt) + U + u_св = RСdu_у/dt + RСdu_св/dt + U + u_св (2)

Т.к. U = const, то в выражении (2) RСdu_у/dt = 0 , тогда RСdu_св/dt + u_св = 0 (3), где RС = t - постоянная времени RC-цепи.

Решая методом интегрирования уравнение (3), получим: i_св = Nе^-t/t, где N – постоянная интегрирования, которая находится из начальных условий: т.к. до коммутации (до включения) напряжение в цепи было равно нулю, то и в первый момент включения напряжение в цепи также будет равно нулю (по второму закону коммутации): u(0) = u_у(0) + u_св(0) = 0, получаем: 0 = U + Nе^-0/t Þ N = -U

Напряжение конденсатора будет: u_С = u_у + u_св = U - Uе^-t/t = U(1 - е^-t/t). Напряжение цепи будет равно: U = iR + U_C = iR + U - Uе^-t/t Þ i = Uе^-t/t/R = Iе^-t/t. Напряжение резистора U_R= = iR = IRе^-t/t = Uе^-t/t.

График зарядки: t_зар = 4t

Отключение RC-цепи от источника постоянного напряжения:

При отключении RC-цепи от источника постоянного напряжения последовательно в цепь включают добавочное сопротивление, чтобы разрядка не происходила слишком быстро.

Напряжение в цепи при этом будет изменяться от некоторого u_C = U до u_У = 0. В последний момент времени ток в цепи будет равен нулю (i = 0).

i = - Cdu_C/dt = - Сd(u_у + u_св)/dt = - Сdu_у/dt - Сdu_св/dt

Знак «-» в последнем записанном выражении говорит о том, что при разрядке конденсатора ток в цепи имеет направление противоположное тому, какое он имел при зарядке.

U = U_R + U_C = iR - u_у - u_св = -R(Сdu_у/dt + Сdu_св/dt) – 0 - u_св = - RСdu_у/dt - RСdu_св/dt - u_св

Учитывая условия разрядки конденсатора, получаем: -RСdu_св/dt - u_св = 0 (4), где где RС = t - постоянная времени RC-цепи.

Решая методом интегрирования уравнение (4), получим: i_св = Ве^-t/t, где В – постоянная интегрирования, равная В = U, тогда напряжение конденсатора будет: u_С = u_у + u_св = 0 + Uе^-t/t. Ток i = Uе^-t/t/R = Iе^-t/t.

График разрядки: t_раз = 5t

Чем больше t, тем медленнее идет разрядка, т.к. чем больше емкость, тем больше электрической энергии накапливается в электрическом поле конденсатора (W_Э = CU²/2).