ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RL-ЦЕПИ.

Тема 4.2 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

ЛЕКЦИЯ 30. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RL-ЦЕПИ.

Установившийся режим –это такой режим, при котором напряжение и ток в цепи в течение длительного времени остаются постоянными или изменяются по периодическому закону.

Переходный процесс возникает при включении или отключении источника питания, а также при включении или отключении R, L, C – элементов.

Рассмотрим RL-цепь, по которой протекает переменный ток. При этом в цепи будет возникать ЭДС индукции, равная е_L = -Ldi/dt. Энергия магнитного поля катушки равна W_L = LI²/2. Мощность цепи при этом равна: р = dW/dt. Если dt ® 0, то р ® ¥.

Первый закон коммутации: ток в катушке не может изменяться скачком, поэтому в первый момент времени переходного процесса ток имеет тоже значение, которое он имел в последний момент времени предшествующего установившегося режима.

Рассмотрим RС-цепь, по которой протекает переменный ток: i = Cdu_C/dt. Энергия электрического поля конденсатора равна: W_C CU²/2. Мощность цепи при этом равна: р = dW/dt. Если dt ® 0, то р ® ¥.

Второй закон коммутации: напряжение на емкости не может изменяться скачком, поэтому мгновенное значение напряжения на емкости в первый момент переходного процесса остается таким же, каким оно было в последний момент предшествующего установившегося режима.

Переходной процесс рассматривают как результат наложения двух процессов:

1. новый установившийся режим (считают, что он наступил мгновенно после коммутации);

2. свободный процесс, обеспечивающий переход цепи от прежнего установившегося режима к новому.

С учетом этого первый и второй законы коммутации можно записать:

i = i_у + i_св, u = u_у + u_св

Подключение RL-цепи к источнику постоянного напряжения:

Ток в цепи изменяется от i = 0 до некоторого I_У = I = U/R. По первому закону коммутации i = i_у + i_св. Рассматриваемая цепь имеет последовательное соединение, тогда U = U_R + U_L, где U_R = IR, U_L = -e_L = Ldi/dt, тогда U = iR + Ldi/dt. Подставим в это выражение значение тока в соответствии с первым законам коммутации:

U = iR + Ldi/dt = (i_у + i_св)R + Ld(i_у + i_св)/dt = i_уR + i_свR + Ldi_у/dt + Li_св/dt (1)

Т.к. ток свободного процесса необходим только для совершения коммутации, то в новом установившемся режиме он будет равен нулю. В соответствии с этим выражение (1) примет вид: U = i_уR + Ldi_у/dt (2)

Для нахождения тока свободного процесса вычтем уравнение (2) из уравнения (1): i_свR + Li_св/dt = 0 Þ i_св = - Li_св/Rdt (3), где L/R = t - постоянная времени RL-цепи.

Решая методом интегрирования уравнение (3), получим: i_св = Ке^-t/t, где К – постоянная интегрирования, которая находится из начальных условий: т.к. до коммутации (до включения) ток в цепи был равен нулю, то и в первый момент включения ток в цепи также будет равен нулю (по первому закону коммутации): i(0) = i_у(0) + i_св(0) = 0, где i_у(0) = i_у = I = U/R Þ i_св(0) = Ке^-0/t = К = - i_у = -I Þ К = -I и свободный ток при этом будет равен: i_св(0) = -Iе^-t/t.

Ток переходного процесса будет: i = i_у + i_св = I - Iе^-t/t = I(1 - е^-t/t). Напряжение U_R = iR = IR(1 - е^-t/t) = U(1 - е^-t/t). U= U_R + U_L, тогда U_L = U – U_R = U - U(1 - е^-t/t) = U – U + Uе^-t/t.

График зарядки: t_зар = 4t

Отключение RL-цепи от источника постоянного напряжения:

При отключении RL-цепи от источника постоянного напряжения последовательно в цепь включают добавочное сопротивление, чтобы разрядка не происходила слишком быстро.

Ток в цепи при этом будет изменяться от некоторого i = I = U/R до i_У = 0. В последний момент времени напряжение в цепи будет равно нулю (U=0). U_L = - e_L = Ldi/dt.

По первому закону коммутации: i = i_у + i_св. Тогда для последнего момента времени можно записать: 0 = iR + Ldi/dt = (i_у + i_св)R + Ld(i_у + i_св)/dt = i_уR + i_свR + Ldi_у/dt + Li_св/dt.

Учитывая, что i_У = 0, получим: i_свR + Li_св/dt.= 0 Þ i_св = - Li_св/Rdt, где L/R = t - постоянная времени RL-цепи.

Решая методом интегрирования последнее уравнение, получим: i_св = Ае^-t/t, где А – постоянная интегрирования. Обозначив ток в цепи в начальный момент времени (до отключения цепи) как i = I = U(R + R₁), напишем по первому закону коммутации для начального момента времени (t=0): i(0) = i_св(0) = I = А. Таким образом, i = i_св = -Iе^-t/t.

Ток переходного процесса будет: i = i_у + i_св = Iе^-t/t. Напряжение U_R = iR = IRе^-t/t = Uе^-t/t. Общее напряжение цепи будет равно: U = U_R + U_L, тогда U_L = U – U_R = U - Uе^-t/t = U(1 – е^-t/t).

График зарядки: t_раз = t