ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ВЕТВЕЙ. МЕТОД ПРОВОДИМОСТЕЙ.

ЛЕКЦИЯ 21. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ВЕТВЕЙ. МЕТОД ПРОВОДИМОСТЕЙ.

Рассмотрим заданную электрическую цепь.

Сила тока в первой ветви: I₁ = U/ÖR²₁ + Х²_L = U/Z₁

Сила тока во второй ветви: I₂ = U/ÖR²₂ + Х²_С = U/Z₂

Построим векторную диаграмму рассматриваемой цепи: при параллельном соединении элементов постоянным в цепи остается напряжение Þ если цепь имеет параллельное соединение, то диаграмму начинаем строить с того, что по горизонтали в масштабе откладываем вектор напряжения.

Ток на резисторе совпадает по фазе с напряжением Þ вектор I_R откладываем параллельно напряжению.

Ток на катушке отстает от напряжения на угол p/2 Þ вектор I_L будем откладывать вниз перпендикулярно напряжению. Ток на конденсаторе опережает напряжение на угол p/2 Þ вектор I_С будем откладывать вверх перпендикулярно напряжению.

Из векторной диаграммы для первой ветви следует:

I_R1 = I₁cosj = (U/Z₁)(R₁/Z₁) = UR₁/Z₁² = Ug₁, где

g₁ = R₁/Z₁² – активная проводимость первой ветви.

I_p1 = I₁sinj = (U/Z₁)(Х_L/Z₁) = UХ_L/Z₁² = Ub₁, где

b₁ = Х_L/Z₁² – реактивная проводимость первой ветви.

I₁ = ÖI_R1² + I_p1² = Ö(Ug₁)² + (Ub₁)² = UÖg₁² + b₁² = = Uу₁, где у₁ = Ög₁² + b₁² - полная проводимость первой ветви: у₁ = 1/Z₁

Из векторной диаграммы для второй ветви:

I_R2 = I₂cosj = (U/Z₂)(R₂/Z₂) = UR₂/Z₂² = Ug₂, где g₂ = R₂/Z₂² – активная проводимость второй ветви.

I_p2 = I₂sinj = (U/Z₂)(Х_С/Z₂) = UХ_С/Z₂² = Ub₂, где b₂ = Х_С/Z₂² – реактивная проводимость второй ветви.

I₂ = ÖI_R2² + I_p2² = Ö(Ug₂)² + (Ub₂)² = UÖg₂² + b₂² = Uу₂, где у₂ = Ög₂² + b₂² - полная проводимость второй ветви: у₂ = 1/Z₂

Полная активная составляющая тока всей цепи: I_R = I_R1 + I_R2 = Ug₁ + Ug₂ = U(g₁ + g₂) =

= Ug, где (g₁ + g₂) = g – полная активная проводимость всей цепи.

Полная реактивная составляющая тока всей цепи: I_р = I_р1 – I_р2 = Ub₁ - Ub₂ = U(b₁ - b₂) = Ub, где (b₁ - b₂) = b – полная реактивная проводимость всей цепи. При расчете параллельно соединенных цепей переменного тока проводимость индуктивного характера берется со знаком «+», а емкостного – со знаком «-».

Полный ток всей цепи: I = ÖI_R² + I_p² = Ö(Ug)² + (Ub)² = UÖg² + b² = UY, где

Y = Ög² + b² – полная проводимость всей цепи.

cos j = g/у sin j = b/у tgj = b/g

Итак, в цепях переменного тока, имеющих параллельное соединение ветвей, существует три вида проводимостей: активная, реактивная и полная. Причем, только полная проводимость является величиной, обратной полному сопротивлению.

Мощности в цепях переменного тока, имеющих параллельное соединение:

· активная: P = IUcosj = UIg/у = U²g;

· реактивная: Q = UIsinj = UIb/у = U²b;

· полная: S = UI = UÖg² + b²

Пример решения задачи на метод проводимостей:

R₁ = 80 Ом; R₂ = 260 Ом; L = 0,19 Гн;

С = 21,2 мкФ = 21,2×10^-6 Ф; U = 120 В; ¦=50 Гц

I₁-? I₂ -? I₃ -? P -? Q-?

Решение:

1. Рассчитываем проводимости ветвей:

активные: g₁ = R₁/Z₁² = 8×10^{-3 См;} g₂ = R₂/Z₂² = 2,9×10^{-3 См;} g = (g₁ + g₂) = 10,9×10^{-3 См;}

реактивные: b₁ = Х₁/Z₁² = 6×10^{-3 См;} b₂ = Х₂/Z₂² = -1,7×10^{-3 См;} b = (b₁ + b₂) = 4,3×10^{-3 См;}

полная проводимость всей цепи: Y = Ög² + b² = 11,7×10^{-3 См}

2. Полное сопротивление цепи: Z = 1/Y = 86 (Ом)

3. Ток первой ветви: I₁ = ÖI_R1² + I_p1² = Ö(Ug₁)² + (Ub₁)² = 1,2 (А)

Ток второй ветви: I₂ = ÖI_R2² + I_p2² = Ö(Ug₂)² + (Ub₂)² = 0,4 (А)

Общий ток цепи: I = UY = 1,6 (А)

4. P = U²g = 157 (Вт)

Q = U²b = 62 (вар)