ЦЕПЬ, СОДЕРЖАЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО СОЕДИНЕННЫЕ АКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ И КОНДЕНСАТОР. RLC-ЦЕПЬ

ЛЕКЦИЯ 18. ЦЕПЬ, СОДЕРЖАЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО СОЕДИНЕННЫЕ АКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ И КОНДЕНСАТОР. RLC-ЦЕПЬ

Рассмотрим электрическую цепь, содержащую последовательно соединенные активное сопротивление и конденсатор. Закон изменения тока в данной цепи имеет вид: i = I_msinwt. Необходимо вывести формулы законов изменения напряжения и мощности в данной цепи.

Т.к. цепь имеет последовательное соединение элементов, то общее напряжение на выводах цепи будет равно: u = u_R + u_С. Подставим в эту формулу законы изменения напряжений на активном сопротивлении и конденсаторе:

u = u_R + u_С = U_msinwt + U_msin(wt - p/2) = U_msin(wt - j)

Значения амплитудных напряжений на активном сопротивлении и конденсаторе можно вычислить по формулам: U_mR = I_m×R

U_mC = I_m×Х_С = I_m/wС

U_R I R P

U Х_C

Z S Q_C

U_C

рис. а рис. б рис. в

Векторная диаграмма RC-цепи (рис. а): строится с учетом законов изменения тока и напряжений на активном сопротивлении и конденсаторе. Сначала в масштабе по горизонтали откладываем вектор тока. Т.к. напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током в цепи, то напряжение на активном сопротивлении откладываем параллельно току. Затем от конца вектора U_R вниз (т.к. напряжение на конденсаторе отстает от тока на 90⁰) откладываем вектор U_С и по диагонали получаем вектор полного напряжения цепи U.

Из векторной диаграммы следует:

U = ÖU²_R + U²_С = Ö(IR)² + (IХ_С)² = IÖR² + Х²_С = IZ, где Z = ÖR² + Х²_С – полное сопротивление RС-цепи [Z] = [1 Ом ]

Закон Ома для RС-цепи примет вид: I = U/Z = U/ÖR² + Х²_С

Треугольник сопротивлений RС-цепи (рис. б): по горизонтали в масштабе откладываем вектор активного сопротивления. Т.к. в векторной диаграмме вниз мы откладывали вектор U_С, то в треугольнике сопротивлений вниз будем откладывать вектор Х_С. Тогда на диагонали при соединении начала вектора R с концом вектора Х_С мы получим полное сопротивление RС-цепи.

Из треугольника сопротивлений и векторной диаграммы следует:

cos j = R/Z = U_R/U sin j = Х_С/Z = U_С/U tgj = Х_С/R = U_С/U_R

Для вывода закона изменения мощности в RС-цепи воспользуемся формулой:

sina×sinb = 1/2 [cos (a-b) – cos(a+b)]

p = ui = I_msinwt×U_msin(wt + j) = U_mI_m/2 [cos j – cos (2wt + j)] = UIcos j - UI cos(2wt + j)

P = UIcos j - активная мощность цепи [ Р ] = [ 1 Вт ]

Q_С = UIsin j - реактивная мощность цепи [ Q_С ] = [ 1 вар ]

S = UI – полная мощность цепи [ S ] = [ 1 В×А ]

Треугольник мощностей RС-цепи (рис. в): по горизонтали в масштабе откладываем вектор активной мощности (Р). Т.к. в векторной диаграмме вниз мы откладывали напряжение на конденсаторе, то при построении треугольника мощностей вниз мы будем откладывать вектор Q_С, тогда по диагонали при соединении начала вектора Р с концом вектора Q_С получим вектор полной мощности (S).

Коэффициент мощности: cos j = Р/S

Пример решения задачи:

R = 60 Ом; U = 5 B;

¦ = 5 кГц = 5000 Гц;

С = 398×10^-9 Ф

Z-? I-? P-? S-? Q_С-? U_R-? U_С-? W_эmах-?

Построить векторную диаграмму цепи

Решение: 1. Т.к. цепь имеет последовательное соединение нескольких элементов, то для нахождения силы тока в цепи сначала необходимо определить полное сопротивление:

Z = ÖR² + Х²_С = Z = ÖR² + (1/wС)² = 100 (Ом)

2. Определяем силу тока в цепи: I = U/Z = 0,05 (А)

3. Определяем падение напряжения на каждом элементе цепи:

U_R = I×R = 3 (В)

U_С = I×Х_С = I/wС = 4 (В)

4. P = UIcos j = UIR/Z = 0,15 (Вт)

Q_С = UIsin j = UI/ZwС = 20 (вар)

S = UI = 0,25 (В×А)

5. W_эmах = CU²_C/2 = 4975×10^-9 (Дж)

Рассмотрим электрическую цепь переменного тока, состоящую из последовательно соединенных активного сопротивления, катушки индуктивности и конденсатора.

Т.к. цепь имеет последовательное соединение, то общее напряжение цепи будет вычисляться по формуле:

u = u_R + u_L + u_C = U_msinwt + U_msin(wt + p/2) + U_msin(wt - p/2)

U_mR = I_m×R U_R = I×R

U_mC = I_m×Х_С U_C = I×Х_С

U_mL = I_m×Х_L U_L = I×Х_L

U_p = U_L – U_C – реактивное напряжение RLC-цепи

U = U_R + U_p = U_R + (U_L – U_C) – полное напряжение RLC-цепи

Х = Х_L – Х_С - реактивное сопротивление RLC-цепи

Z = ÖR² + Х² = ÖR² + (Х_L - Х_С)² – полное сопротивление RLC-цепи

Режимы работы RLC-цепи

1. активно-индуктивный: U_L > U_C, Х_L > Х_С, j > 0

U_C U_L Х_C Х_L

U U_p Z

U_R

I R

U_p = U_L – U_C > 0 Х = Х_L – Х_С > 0

2. активно-емкостной: U_L < U_C, Х_L < Х_С, j < 0

U_R

I R

U Z

U_C Х_L Х_C

U_L

U_p = U_L – U_C < 0 Х = Х_L – Х_С < 0

3. активный: U_L = U_C, Х_L = Х_С, j = 0

U_C U_L Х_C Х_L

U_R

I R

U_p = U_L – U_C = 0 Х = Х_L – Х_С = 0

Для всех режимов работы:

1. P = UIcos j = IU_R – активная мощность цепи [ Р ] = [ 1 Вт ]

Q = UIsin j = IU_p = I(U_L - U_C) – реактивная мощность цепи

[ Q ] = [ 1 вар ]

S = UI – полная мощность цепи [ S ] = [ 1 В×А ]

2. U_R = Ucos j U_p = Usin j

3. cos j = R/Z = U_R/U

sin j = (Х_L – Х_C)/Z = (U_L - U_С)/U

tgj = (Х_L – Х_C)/R = (U_L - U_С)/U_R

4. Коэффициент мощности: cos j = Р/S

Пример решения задачи:

R = 30 Ом; L = 0,02 Гн

С = 50 мкФ = 50×10^-9 Ф

i = 0,423 sin2000t

Z-? I-? P-? S-? Q_С-? U_R-? U_С-? U_L-?

Построить векторную диаграмму цепи

Решение: 1. Т.к. цепь имеет последовательное соединение нескольких элементов, то для нахождения силы тока в цепи сначала необходимо определить полное сопротивление: Z = ÖR² + Х² = ÖR² + (Х_L - Х_С)²

Х_L = wL = 40 (Ом)

Х_С = 1/wС = 10 (Ом)

Z = ÖR² + (Х_L - Х_С)² = 42,4 (Ом)

2. Из закона изменения тока, заданного по условию задачи I_m = 0,423 A Þ I = I_mÖ2 = 0,3 А

3. Определяем падение напряжения на каждом элементе: U_R = I×R = 9 (В)

U_C = I×Х_С = 3 (В)

U_L = I×Х_L = 12 (В)

Т.к. U_L > U_C, то режим работы цепи активно-индуктивный.

4. U = IZ = 12,72 (В)

5. Р = UIcosj = UIR/Z = 2,7 (Вт)

Q = UIsinj = (Х_L – Х_C)(U_L - U_С)I/Z = 6,37 (вар)

S = UI = 5,4 (ВА)